Question

已知，n∈N^*，試比較與的大小，并且說明理由．

Answer 1

【答案】分析：根據，我們易求出=，而，故可將比較與的大小，轉化為比較2ⁿ與n²的大小．利用數學歸納法易證明結論．
解答：解：，
而，
∴與的大小等價于2ⁿ與n²的大小．
當n=1時，2¹＞1²；當n=2時，2²=2²；
當n=3時，2³＜3²；當n=4時，2⁴=4²；
當n=5時，2⁵＞5²．
猜想當n≥5時，2ⁿ＞n²．
以下用數學歸納法證明：
①當n=5時，由上可知不等式成立；
②假設n=k（k≥5）時，不等式成立，即2^k＞k²，則
當n=k+1時，2^k+1=2•2^k＞2k²，
又∵2k²-（k+1）²=（k-1）²-2＞0（∵k≥5），即2^k+1＞（k+1）²，
∴n=k+1時，不等式成立．
綜合①②對n≥5，n∈N^*不等式2ⁿ＞n²成立．
∴當n=1或n≥5時，；
當n=3時，；
當n=2或4時，．
點評：本題考查的知識點是數學歸納法及數的大小比較，數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．