Question

已知動點M（x，y）在曲線C上，點M與定點F（1，0）的距離和它到直線m：x=4的距離的比是

1

2

．
（1）求曲線C的方程；
（2）點E（-1，0），∠EMF的外角平分線所在直線為l，直線EN垂直于直線l，且交FM的延長線于點N．試求點P（1，8）與點N連線的斜率k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由點到直線的距離公式與兩點的距離公式，結合題意建立關于x、y的等式，化簡整理得

x2

4

+

y2

3

=1，即為所求曲線C的方程；
（2）根據曲線C的方程利用橢圓的定義，結合題意算出點N的軌跡是以F為圓心、4為半徑的圓，可得圓心F到直線PN的距離小于等于半徑，因此設出直線NP方程并利用點到直線的距離公式列式，解之即可得到k的取值范圍．

解答：解：（1）設點M到直線m：x=4的距離為d，
根據題意，可得

|MF|

d

=

1

2

，
即

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，化簡得

x2

4

+

y2

3

=1．
∴曲線C的方程是

x2

4

+

y2

3

=1；    
（2）由（1）得曲線C是E（-1，0）、F（1、0）為焦點的雙曲線，2a=4．
根據題意，可知|ME|=|MN|，
∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4
∴點N的軌跡是以F（1，0）為圓心，4為半徑的圓．
又∵直線PN的方程為：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0．
∴圓心F到直線PN的距離d小于等于半徑，可得

|k+8-k|

k2+1

≤4，
解之得k≤-

3

或k≥

3

，可得斜率k的取值范圍是（-∞，-

3

]∪[

3

，+∞）．

點評：本題給出動點M滿足的條件，求M的軌跡方程并依此求動直線斜率的取值范圍．著重考查了直線的基本量與基本形式、兩點間的距離公式與點到直線的距離公式、橢圓的定義與標準方程和直線與圓錐曲線位置關系等知識，屬于中檔題．