Question

設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)(1，b)的直線，記Q是直線l與拋物線x²=2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，
（1）若a=1，b=2，p=2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（2）若點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）在橢圓+y²=1上，p=，求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x²-4y²=1上；
（3）若動(dòng)點(diǎn)P(a，b)滿足ab≠0，p=，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說(shuō)明理由。

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1，b=2，p=2時(shí)，
解方程組，
即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，16）；
（2）由方程組，即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，
∵P是橢圓上的點(diǎn)，即，
，
因此點(diǎn)Q落在雙曲線上。
（3）設(shè)Q所在的拋物線方程為，
將代入方程，得，
當(dāng)c=0時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在拋物線上；
當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在圓上；
當(dāng)，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在橢圓上；
當(dāng)qc＜0時(shí)，，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在雙曲線上。