Question

設(shè)P（a，b）（b≠0）是平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)，l是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)（1，b）的直線，記Q是直線l與拋物線x²=2py（p≠0）的異于原點(diǎn)的交點(diǎn)
（1）若a=1，b=2，p=2，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)
（2）若點(diǎn)P（a，b）（ab≠0）在橢圓

x2

4

+y²=1上，p=

1

2ab

，
求證：點(diǎn)Q落在雙曲線4x²-4y²=1上
（3）若動(dòng)點(diǎn)P（a，b）滿足ab≠0，p=

1

2ab

，若點(diǎn)Q始終落在一條關(guān)于x軸對(duì)稱的拋物線上，試問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡落在哪種二次曲線上，并說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立姐方程求出交點(diǎn)坐標(biāo)，
（2）將直線方程與拋物線方程聯(lián)立求出交點(diǎn)Q的坐標(biāo)；將P的坐標(biāo)代入橢圓方程得到a，b滿足的關(guān)系，變形得到Q的坐標(biāo)滿足雙曲線方程，證出點(diǎn)Q在雙曲線上．
（3）設(shè)出Q所在的拋物線方程，將Q的坐標(biāo)代入得到a，b滿足的方程；通過(guò)對(duì)p，c的分類討論得到P所在的曲線．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=2，p=2時(shí)，
解方程組

x2=4y y=2x

得

x=8 y=16

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（8，16）（3分）
（2）證明：由方程組

x2= 1 ab y y=bx

得

x= 1 a y= b a

即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(

1

a

，

b

a

)（5分）
∵P時(shí)橢圓上的點(diǎn)，即

a2

4

+b2=1
∴4(

1

a

)2-4(

b

a

)2=

4

a2

(1-b2)=1，
因此點(diǎn)Q落在雙曲線4x²-4y²=1上（8分）
（3）設(shè)Q所在的拋物線方程為y²=2q（x-c），q≠0（10分）
將Q(

1

a

，

b

a

)代入方程，得

b2

a2

=2q(

1

a

-c)，即b²=2qa-2qca²（12分）
當(dāng)c=0時(shí)，b²=2qa，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在拋物線上；
當(dāng)qc=

1

2

時(shí)，(a-

1

2c

)2+b2=

1

4c2

，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在圓上；
當(dāng)qc＞0且qc≠

1

2

時(shí)，

(a- 1 2c )2

1 4c2

+

b2

q 2c

=1，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在橢圓上；
當(dāng)qc＜0時(shí)

(a- 1 2c )2

1 4c2

-

b2

(- q 2c )

=1，此時(shí)點(diǎn)P的軌跡落在雙曲線上；（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系常用的處理方法是將它們的方程聯(lián)立、判斷動(dòng)點(diǎn)的軌跡常通過(guò)動(dòng)點(diǎn)的方程來(lái)判斷．