Question

已知動點P與雙曲線的兩個焦點F₁，F₂的距離之和為定值，

且cos∠F₁PF₂的最小值為－.

（1）求動點P的軌跡方程；（6分）

（2）是否存在直線l與P點軌跡交于不同的兩點M、N，且線段MN恰被直線

平分？若存在，求出直線l的斜率k的取值范圍，若不存在說明理由.

 

Answer 1

【答案】

解: (1)∵，

∴c＝.設|PF₁|＋|PF₂|＝2a(常數＞0)，------2分

2＞2c＝2，∴＞

由余弦定理有cos∠F₁PF₂＝

＝＝－1

∵|PF₁||PF₂|≤()²＝²，

∴當且僅當|PF₁|＝|PF₂|時，|PF₁||PF₂|取得最大值a².

此時cos∠F₁PF₂取得最小值-1，----------4分

由題意－1＝－，解得a²＝4，

∴P點的軌跡方程為------------6分

（2）由（1）知p點軌跡為橢圓，顯然直線l的斜率k存在，

設l的直線方程為   ------------7分

  由

設l與橢圓交于不同兩點

為方程①的兩個不同根

解得：  ②------------9分

又 且MN被直線x=－1平分

  

代入②解不等式 ，解得

  ∴存在直線l滿足條件，l的斜率k的范圍是

------------12分

【解析】略