Question

已知二次函數f（x）=x²+ax+b，若關于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜6}．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若x＞0時，不等式f（x）-mx＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據題意，可以得到2和6為關于x的方程x²+ax+b=0的兩根，根據韋達定理列出關于a和b的方程組，解出a和b，即可得到f（x）的解析式；
（2）將不等式f（x）-mx＞0對x＞0時恒成立，利用參變量分離法轉化為m＜x+

12

x

-8，進而求最值，即可求得實數m的取值范圍．

解答：解：（1）∵關于x的不等式f（x）＜0的解集為{x|2＜x＜6}，且f（x）=x²+ax+b，
∴2和6是關于x的方程x²+ax+b=0的兩根，
∴

2+6=-a 2×6=b

，解得a=-8，b=12，
∴解析式為f（x）=x²-8x+12；
（2）∵不等式f（x）-mx＞0對x＞0時恒成立，
∴m＜x+

12

x

-8對x＞0時恒成立，即m＜(x+

12

x

-8)min，
∵當x＞0時，x+

12

x

≥4

3

，當且僅當x=

12

x

，即x=2

3

時取等號，
∴(x+

12

x

-8)min=4

3

-8，
∴m＜4

3

-8，
∴實數m的取值范圍是 (-∞，4

3

-8)．

點評：本題考查了求函數的解析式，求解析式一般選用待定系數法、換元法、配湊法、消元法等．本題還考查了一元二次不等式的解法，函數恒成立問題，對于函數恒成立問題一般選用參變量分離法、最值法、數形結合法求解．屬于中檔題．