Question

已知曲線S：y=2x-x³．
（1）求曲線S在點A（1，1）處的切線方程；
（2）求過點B（2，0）并與曲線S相切的直線方程．

Answer 1

分析：（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)在點A處的值為切線方程的斜率可得答案．
（2）先設(shè)切點坐標(biāo)，然后得出斜率的表達式求出斜率，最后根據(jù)直線的點斜式方程可得答案．

解答：解：（1）∵y=2x-x³∴y'=-3x²+2
當(dāng)x=1時，y'=-1
∴點A（1，1）處的切線方程為：y-1=（-1）（x-1）  即：x+y-2=0
（2）設(shè)切點坐標(biāo)為（m，2m-m³）
則直線斜率k=

2m-m3

m-2

y'=2-3m²，整理得到：m³-3m²+2=0
m³-m²-2（m²-1）=0
m²（m-1）-2（m+1）（m-1）=0
（m-1）（m²-2m-2）=0
解得m₁=1，m₂=1+

3

，m₃=1-

3

當(dāng)m=1時：k=2-3m²=-1，直線方程為y=-（x-2）=2-x；
當(dāng)m=1+

3

時，k=2-3m²=-10-6

3

，直線方程為y=（-10-6

3

）（x-2）
當(dāng)m=1-

3

時，k=2-3m²=-10+6

3

，直線方程為y=（-10+6

3

）（x-2）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)值等于過該點的曲線的切線的斜率．