Question

已知曲線C₁：y²=2x與C₂：y=在第一象限內交點為P．

（1）求過點P且與曲線C₂相切的直線方程；

（2）求兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積S．

Answer 1

考點：

定積分在求面積中的應用．

專題：

計算題；導數的概念及應用．

分析：

（1）先通過解方程組求交點P的坐標，再根據導數的幾何意義求出函數在x=2處的導數，從而得到切線的斜率，再利用點斜式方程寫出切線方程即可．

（2）先確定積分區間，再確定被積函數，從而可求由兩條曲線曲線C₁：y²=2x與C₂：y=所圍圖形的面積．

解答：

解：（1）曲線C₁：y²=2x與C₂：y=在第一象限內交點為P（2，2）

C₂：y=的導數y'=xy'|_x=2=2

而切點的坐標為（2，2）

∴曲線C₂：y=在x=2的處的切線方程為y﹣2=2（x﹣2），即2x﹣y﹣2=0．（2）由曲線C₁：y²=2x與C₂：y=可得兩曲線的交點坐標為（0，0），（2，2）

∴兩條曲線所圍圖形（如圖所示陰影部分）的面積：

S=（﹣）dx=（×x﹣）=．

點評：

本題主要考查了利用導數研究曲線上某點切線方程，定積分在求面積中的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題．