Question

【題目】已知函數f（x）=ax2+8x+b（a，b為互不相等的正整數），方程f（x）=0的兩個實根為x1 ， x2（x1≠x2），且|x1|＜1，|x2|＜1，若f（1）+f（﹣1）的最大值與最小值分別為M，m，則M+m的值為 ．

Answer 1

【答案】50
【解析】解：f（x）=ax2+8x+b，

此函數的圖象與x軸的兩個交點在區間（﹣1，1），

∴

∴ 即有 ，

∵a，b為互不相等的正整數，

∴a，b可能的取值有（7，2）（8，1）（9，1）（10，1），

（11，1），（12，1），（13，1），（14，1）（15，1）共9個．

∴a+b的最小值是9，最大值為16．

則f（1）+f（﹣1）=2（a+b）的最大值與最小值分別為M=32，m=18，

可得M+m=50．

故答案為：50．

由|x1|＜1，|x2|＜1知，方程的兩根在區間（﹣1，1）內，f（x）=ax2+8x+b，此函數的圖象與x軸的兩個交點在區間（﹣1，1）內，可得，f（﹣1）＞0，f（1）＞0，且對稱軸在區間（﹣1，1）內，最小值小于0．由此列條件求a+b的最值，進而得到M+m的和．