Question

【題目】動點(diǎn)與定點(diǎn)的距離和該動點(diǎn)到直線的距離的比是常數(shù)．

（1）求動點(diǎn)軌跡方程；

（2）已知點(diǎn)，問在軸上是否存在一點(diǎn)，使得過點(diǎn)的任一條斜率不為0的弦交曲線于兩點(diǎn)，都有．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，坐標(biāo)為

【解析】

(1)根據(jù)題意列出點(diǎn)滿足的關(guān)系式,再化簡方程即可.

(2) 設(shè),再討論當(dāng)⊥軸時可得,即若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.再討論斜率存在時,設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,求出韋達(dá)定理,證明即可.

（1）由題意,知,即.

解得曲線的方程為.

（2）法一：設(shè),易知,

①若⊥軸時,由,此時,滿足橢圓方程,

∴,解得（舍）,可知若存在定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.

②當(dāng)直線斜率存在時,設(shè)斜率為k,

設(shè)的方程為,聯(lián)立橢圓方程,

消去得,∴.

,∴

,

綜合①②可知,存在點(diǎn),使得.

（2）（解法二）設(shè),易知,設(shè).

若不垂直軸,的斜率為,則直線的方程為,

,,

,

即是①,

由,得,

代入①式得

化簡,

整理得②,

為使與斜率無關(guān),由②式得出,解得（舍）,

這說明與軸不垂直時,是過的弦,恒有,

若⊥軸時,：,是等腰三角形,,

,,,,

可見是等腰直角三角形,,

綜上,過的弦總有.