Question

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設(shè)向量

m

=（a，b），

n

=（sinA，cosB），

P

=（1，1）．
（I）若

m

∥

n

，求角B的大小：
（Ⅱ）若

m

•

p

=4，邊長c=2，角c=

π

3

求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)平面向量平行時(shí)滿足的條件，得到一個(gè)關(guān)系式，利用正弦定理化簡即可求出tanB的值，由B的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出B的度數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則化簡

m

•

p

=4，得到a+b的值，然后由c及cosC的值，利用余弦定理表示出c²，變形后把a(bǔ)+b的值代入即可求出ab的值，然后由ab及sinC的值，利用三角形的面積公式即可求出△ABC的面積．

解答：解：（I）∵

m

∥

n

，∴acosB=bsinA，（2分）
根據(jù)正弦定理得：2RsinAcosB=2RsinBsinA（4分）
∴cosB=sinB，即tanB=1，又B∈（0，π），
∴B=

π

4

；（8分）
（Ⅱ）由

m

•

p

=4得：a+b=4，（8分）
由余弦定理可知：4=a²+b²-2abcos

π

3

=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
于是ab=4，（12分）
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

3

．（13分）

點(diǎn)評：此題考查學(xué)生掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則，靈活運(yùn)用正弦、余弦定理化簡求值，是一道中檔題．