Question

已知△ABC的角A、B、C所對的邊分別是a、b、c，設向量

m

=(a，b)，

n

=(sinB，sinA)，

p

=(b-2，a-2)．
（1）若

m

∥

n

，求證：△ABC為等腰三角形；
（2）若

m

⊥

p

，邊長c=2，角C=

π

3

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）利用向量平行的條件，寫出向量平行坐標形式的條件，得到關于三角形的邊和角之間的關系，利用余弦定理變形得到三角形是等腰三角形．
（2）利用向量垂直數量積為零，寫出三角形邊之間的關系，結合余弦定理得到求三角形面積所需的兩邊的乘積的值，求出三角形的面積．

解答：證明：（1）∵m∥n
∴asinA=bsinB
即a•

a

2R

=b•

b

2R

．其中R為△ABC外接圓半徑．
∴a=b
∴△ABC為等腰三角形．
（2）由題意，m•p=0
∴a（b-2）+b（a-2）=0
∴a+b=ab
由余弦定理4=a²+b²-2ab•cos

π

3

∴4=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab
∴ab²-3ab-4=0
∴ab=4或ab=-1（舍去）
∴S_△ABC=

1

2

absinC
=

1

2

×4×sin

π

3

=

3

點評：向量是數學中重要和基本的概念之一，它既是代數的對象，又是幾何的對象，作為代數的對象，向量可以運算，而作為幾何對象，向量有方向，可以刻畫直線、平面切線等幾何對象；向量有長度，可以刻畫長度等幾何度量問題．