Question

設數列{a_n}的各項都是正數，S_n是其前n項和，且對任意n∈N^*都有a_n²=2S_n-a_n．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若b_n=（2n+1）2an，求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）當n=1時，可求得a₁，由a_n²=2S_n-a_n⇒an+12=2S_n+1-a_n+1，兩式相減，可得a_n+1-a_n=1，從而可證數列{a_n}是等差數列，于是可求數列{a_n}的通項公式；
（2）由（1）知，b_n=（2n+1）•2ⁿ，T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法即可求得T_n．

解答：解：（1）∵a_n²=2S_n-a_n，
∴當n=1時，a12=2a₁-a₁，即a12=a₁，
∵a₁＞0，a₁=1…1分
又an+12=2S_n+1-a_n+1，
∴an+12-an2=2（S_n+1-S_n）-a_n+1+a_n，
即（a_n+1-a_n）（a_n+1+a_n）=a_n+1+a_n，{a_n}的各項都是正數，
∴a_n+1-a_n=1…4分
∴數列{a_n}是1為首項，公差為1的等差數列，
∴a_n=n…6分
（2）由（1）知，b_n=（2n+1）2an=（2n+1）•2ⁿ，
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n=3×2+5×2²+…+（2n+1）•2ⁿ①
∴2T_n=3×2²+5×2³+…+（2n-1）×2ⁿ+（2n+1）•2ⁿ⁺¹②…8分
①-②得：-T_n=3×2+2×2²+2×2³+…+2×2ⁿ-（2n+1）•2ⁿ⁺¹
=6-（2n+1）•2ⁿ⁺¹+

23(1-2n-1)

1-2

=-（2n-1）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（2n-1）•2ⁿ⁺¹=2…12分

點評：本題考查數列的求和，著重考查等差數列的判定及其通項公式的應用，突出考查錯位相減法求和，屬于中檔題．