Question

（2013•江蘇一模）設數列{a_n}的各項均為正數，其前n項的和為S_n，對于任意正整數m，n，Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1恒成立．
（1）若a₁=1，求a₂，a₃，a₄及數列{a_n}的通項公式；
（2）若a₄=a₂（a₁+a₂+1），求證：數列{a_n}成等比數列．

Answer 1

分析：（1）由給出的遞推式分別取m=1，m=2得到兩個關系式，兩式作比后可以證明數列{1+S_n}是一個等比數列，由等比數列的通項公式得到S_n的表達式，模仿該式再寫一個關系式，兩式作差后進一步得到一個關于a₂和S₂的關系式，然后把a₁代入即可求得a₂的值，在分別取m=1，n=2；m=2，n=1代入原遞推式，得到關于a₃，a₄的方程后可求解a₃，a₄則數列{a_n}的通項公式可求；
（2）在（1）的基礎上，取m=n=2得關系式，結合m=1，n=2得到的關系式可求出q=

a4 a2

=2．最后結合題目給出的條件，a₄=a₂（a₁+a₂+1）證出數列{a_n}成等比數列．

解答：解（1）由Sm+n=

2a2m(1+S2n)

-1得1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

．
令m=1，得1+Sn+1=

2a2(1+S2n)

①
令m=2，得1+Sn+2=

2a4(1+S2n)

②
②÷①得：

1+Sn+2

1+Sn+1

=

a4 a2

 （n∈N^*）．記

a4 a2

=q，
則數列{1+S_n} （n≥2，n∈N^*）是公比為q的等比數列．
∴1+Sn=(1+S2)qn-2 （n≥2，n∈N^*）③．
n≥3時，1+Sn-1=(1+S2)qn-3④．
③-④得，an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*）．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=n=1，得1+S2=

2a2(1+S2)

．
∴(1+S2)2=2a2(1+S2)．
則1+S₂=2a₂，∴a₂=1+a₁．
∵a₁=1，∴a₂=2．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=1，n=2，得1+S3=

2a2(1+S4)

．
則(4+a3)2=4(4+a3+a4)⑤
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=2，n=1，得1+S3=

2a4(1+S2)

則(4+a3)2=8a4⑥．
由⑤，⑥，解得a₃=4，a₄=8．
則q=2，由an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得：an=4×2n-3(2-1)=2n-1
∵a₁=1，a₂=2也適合上式，∴an=2n-1．
（2）在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=2，n=2，得1+S4=

2a4(1+S4)

則1+S₄=2a₄，∴1+S₃=a₄．
在1+Sm+n=

2a2m(1+S2n)

中，令m=1，n=2，得1+S3=

2a2(1+S4)

．
則1+S3=

2a2(1+S3+a4)

，∴a4=

2a2×2a4

．
則a₄=4a₂，∴q=

a4 a2

=2．
代入an=(1+S2)qn-3(q-1) （n≥3，n∈N^*），
得an=(1+S2)2n-3 （n≥3，n∈N^*）．
由條件a₄=a₂（a₁+a₂+1），得a₁+a₂+1=4．
∵a₂=a₁+1，a₁=1，∴a₂=2．
則an=4×2n-3=2n-1
∵a₁=1，a₂=2上式也成立，
∴an=2n-1 （n∈N*）．
故數列{a_n}成等比數列．

點評：本題考查了等比關系的確定，考查了等差數列和等比數列的綜合，訓練了學生的靈活變形能力和對繁雜問題的計算能力，屬中高檔題．