Question

第七屆國際數學教育大會的會徽的主體是由一連串直角三角形演變而成，其中OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=1，若將圖2的直角三角形繼續作下去，并記OA、OB、…、OI、…的長度所構成的數列為{a_n}．

（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列b_n=

1

an+1+an

的前n項和S_n，S_n．

Answer 1

考點：數列的求和,歸納推理

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）根據條件確定a_n滿足的關系式，構造等差數列即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）求出b_n的通項公式，利用分母有理化，進行求和．

解答： 解：（1）∵OA=AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH=HI=1，
∴a22=a12+1，a32=a22+1，…

a

2 n+1

=

a

2 n

+1，
即數列{

a

2 n

}是以1為首項，1為公差的等差數列，則

a

2 n

=1+（n-1）=n，
即a_n=

n

．
（2）b_n=

1

an+1+an

=

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

，
則S_n=（

2

-1）+（

3

-

2

）+…+

n+1

-

n

=

n+1

-1．

點評：本題主要考查等差數列的判定和應用，以及利用分母有理化進行數列求和，考查學生的計算能力．