Question

某工程要挖一個橫斷面為半圓的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP運(yùn)到P處（如圖所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，試說明怎樣運(yùn)土最省工．

Answer 1

解：以AB所在直線為x軸，線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系xOy，設(shè)M（x，y）是沿AP、BP運(yùn)土同樣遠(yuǎn)的點(diǎn)，則
|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，
∴|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=50．
在△PAB中，由余弦定理得
|AB|²=|PA|²+|PB|²-2|PA||PB|cos60°=17500，且50＜|AB|．
由雙曲線定義知M點(diǎn)在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線右支上，設(shè)此雙曲線方程為-=1（a＞0，b＞0）．
∵2a=50，4c²=17500，c²=a²+b²，
解之得a²=625，b²=3750．
∴M點(diǎn)軌跡是-=1（x≥25）在半圓內(nèi)的一段雙曲線弧．
于是運(yùn)土?xí)r將雙曲線左側(cè)的土沿AP運(yùn)到P處，右側(cè)的土沿BP運(yùn)到P處最省工．
分析：首先抽象為數(shù)學(xué)問題，半圓中的點(diǎn)可分為三類：（1）沿AP到P較近；（2）沿BP到P較近；（3）沿AP、BP到P同樣遠(yuǎn)．
顯然，第三類點(diǎn)是第一、二類的分界點(diǎn)，設(shè)M是分界線上的任意一點(diǎn)．則有|MA|+|PA|=|MB|+|PB|．于是|MA|-|MB|=|PB|-|PA|=150-100=50．從而發(fā)現(xiàn)第三類點(diǎn)M滿足性質(zhì)：點(diǎn)M到點(diǎn)A與點(diǎn)B的距離之差等于常數(shù)50，由雙曲線定義知，點(diǎn)M在以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線的右支上，故問題轉(zhuǎn)化為求此雙曲線的方程．
點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是通過建立數(shù)學(xué)模型把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，利用解析幾何的知識來解決．