Question

（本小題滿分13分）若集合具有以下性質：①②若，則，且時，.則稱集合是“好集”.
（Ⅰ）分別判斷集合，有理數集Q是否是“好集”，并說明理由；
（Ⅱ）設集合是“好集”，求證：若，則；
（Ⅲ）對任意的一個“好集”A，分別判斷下面命題的真假，并說明理由.
命題：若，則必有；
命題：若，且，則必有；

Answer 1

（Ⅰ）有理數集是“好集”.  （Ⅱ）.
（Ⅲ）命題均為真命題.. 

(I)先假設集合是“好集”.因為，，所以
這與矛盾.這樣就確定集合不是“好集”.有理數Q也采用同樣的方法,進行推證.
(II)根據好集的定義是“好集”，則，然后再根據x,y的任意性，可證明.
(III)本小題也是先假設p、q都是真命題，然后根據好集的定義進行推證._.
（Ⅰ）集合不是“好集”. 理由是：假設集合是“好集”.
因為，，所以. 這與矛盾.…………2分
有理數集是“好集”. 因為，,對任意的，有，且時，.所以有理數集是“好集”.    ………………………………4分
（Ⅱ）因為集合是“好集”，所以 .若，則，即.
所以，即.          …………………………6分
（Ⅲ）命題均為真命題. 理由如下：     ………………………………………7分
對任意一個“好集”，任取， 若中有0或1時，顯然.
下設均不為0，1. 由定義可知：.所以，即.  
所以 . 由（Ⅱ）可得：，即. 同理可得.
若或，則顯然.若且，則.
所以 .   所以 _.由（Ⅱ）可得：.
所以 .綜上可知，，即命題為真命題.若，且，則.
所以 ，即命題為真命題.    ……………………………………13分