Question

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，．

（1）證明：平面PQC⊥平面DCQ；
（2）求二面角Q—BP—C的余弦值．

Answer 1

（1）證明過程詳見試題解析；（2）二面角Q—BP—C的余弦值為．

試題分析：（1）以點為中心建立空間坐標系，要證平面⊥平面，只需證明PQ⊥DQ，PQ⊥DC即可；（2）先求出平面PBC的和平面PBQ的法向量，兩個法向量所成的角即為二面角Q—BP—C的平面角，然后求出余弦值即可．
試題解析：（1）依題意有Q（1，1，0），C（0，0，1），P（0，2，0）.

則
所以
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC.故PQ⊥平面DCQ.
又PQ平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.  
（2）依題意有B（1，0，1），

設是平面PBC的法向量，則
因此可取
設m是平面PBQ的法向量，則
可取
故二面角Q—BP—C的余弦值為