Question

【題目】已知函數(shù)（為實(shí)常數(shù)）．

（Ⅰ）若為的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

（Ⅱ）討論函數(shù)在上的單調(diào)性．

（Ⅲ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析（Ⅲ）．

【解析】試題分析：(1) ，由題， 為的極值點(diǎn)，

可得，即．

(2) ， ，分， ， 三種情況討論函數(shù)的單調(diào)性即可.

(3)結(jié)合(2)的單調(diào)性,分別求和 以及時(shí)a的范圍,綜合取并集可得.

試題解析：（Ⅰ） ，

∵為的極值點(diǎn)，

∴， ．

（Ⅱ）∵， ，

當(dāng)，即時(shí)， ， ，

此時(shí)， 在上單調(diào)增，

當(dāng)即時(shí)， 時(shí)，

， 時(shí)， ，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

當(dāng)即時(shí)， ， ，

此時(shí)， 在上單調(diào)遞減．

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，∵在上單調(diào)遞增，

∴的最小值為，

∴，

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

∴的最小值為，

∵，

∴， ，

∴，

∴．

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞減，

∴的最小值為，

∵， ，

∴，

綜上可得： ．