Question

如圖，某化工集團在一條河流的上、下游分別建有甲、乙兩家化工廠，其中甲廠每天向河道內排放污水2萬m3，每天流過甲廠的河水流量是500萬m3（含甲廠排放的污水）；乙廠每天向河道內排放污水1.4萬m3，每天流過乙廠的河水流量是700萬m3（含乙廠排放的污水）．由于兩廠之間有一條支流的作用，使得甲廠排放的污水在流到乙廠時，有20%可自然凈化．假設工廠排放的污水能迅速與河水混合，且甲廠上游及支流均無污水排放．根據環保部門的要求，整個河流中污水含量不能超過0.2%，為此，甲、乙兩個工廠都必須各自處理一部分污水．
（Ⅰ）設甲、乙兩個化工廠每天各自處理的污水分別為x、y萬m3，試根據環保部門的要求寫出x、y所滿足的所有條件；
（Ⅱ）已知甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3，乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3，在滿足環保部門要求的條件下，甲、乙兩個化工廠每天應分別各自處理污水多少萬m3，才能使這兩個工廠處理污水的總費用最小？最小總費用是多少元？

Answer 1

分析：利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設的最優解．（1）要寫出x、y所滿足的所有條件，我們需要考慮如下幾個方面①處理量不能超過自己的排放量②甲廠的污水在自然凈化后不能超過0.2%③甲、乙兩廠的污水排放量在河水中比例不能超過0.2%．（2）由甲廠處理污水的成本是1200元/萬m3，乙廠處理污水的成本是1000元/萬m3，我們可以列出目標函數，然后畫出滿足（1）中約束條件的可行域，然后利用平移直線法，易求出最優解．

解答：解：（Ⅰ）據題意，x、y所滿足的所有條件是

2-x 500 ≤ 0.2 100 0.8(2-x)+(1.4-y) 700 ≤ 0.2 100 0≤x≤2 0≤y≤1.4

，即

4x+5y≥8 1≤x≤2 0≤y≤1.4

（Ⅱ）設甲、乙兩廠處理污水的總費用為z元，
則目標函數z=1200x+1000y=200（6x+5y）．
作可行域，如圖平移直線l：6x+5y=0，當直線經過點A（1，0.8）時，
z取最大值，此時z=1200×1+1000×0.8=2000（元）．
故甲、乙兩廠每天應分別處理1萬m3、0.8萬m3污水，
才能使兩廠處理污水的總費用最小，且最小總費用是2000元．

點評：用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數的最優解．