Question

已知橢圓C：

x2

m2

+y2=1 （常數m＞1），P是曲線C上的動點，M是曲線C上的右頂點，定點A的坐標為（2，0）
（1）若M與A重合，求曲線C的焦點坐標；
（2）若m=3，求|PA|的最大值與最小值；
（3）若|PA|的最小值為|MA|，求實數m 的取值范圍．

Answer 1

（1）根據題意，若M與A重合，即橢圓的右頂點的坐標為（2，0）；
則a=2；橢圓的焦點在x軸上；
則c=

3

；
則橢圓焦點的坐標為（

3

，0），（-

3

，0）；
（2）若m=3，則橢圓的方程為

x2

9

+y²=1；
變形可得y²=1-

x2

9

，
|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

8x2

9

-4x+5；
又由-3≤x≤3，
根據二次函數的性質，分析可得，
x=-3時，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最大值，且最大值為25；
x=

9

4

時，|PA|²=

8x2

9

-4x+5取得最小值，且最小值為

1

2

；
則|PA|的最大值為5，|PA|^_的最小值為

2

2

；
（3）設動點P（x，y），
則|PA|²=（x-2）²+y²=x²-4x+4+y²=

m2-1

m2

（x-

2m2

m2-1

）²+

4m2

m2-1

+5，且-m≤x≤m；
當x=m時，|PA|_^取得最小值，且

m2-1

m2

＞0，
則

2m2

m2-1

≥m，且m＞1；
解得1＜m≤1+

2

．