Question

【題目】如圖，在三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠PAC=∠BAC=60°，AC=4，AP=3，AB=2．

（1）求三棱錐P-ABC的體積；

（2）求點C到平面PAB距離．

Answer 1

【答案】（1）3； （2）.

【解析】

（1）過P作PH⊥AC交AC于一點H，可證PH⊥平面ABC，計算PH和△ABC的面積，代入體積公式計算棱錐的體積；

（2）依次計算AH，BH，PB，利用余弦定理計算∠PAB，得出△PAB的面積，根據VP-ABC=VC-PAB列方程計算C到平面PAB的距離．

（1）過P作PH⊥AC交AC于一點H，

∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC=AC，PH平面PAC，

∴PH⊥平面ABC．

在△PAC中，∠PAC=60°，PA=3，則PH=PAsin∠PAC=，AH=PAcos∠PAC=．

∵△ABC的面積S△ABC===2．

∴四面體P-ABC體積VP-ABC===3．

（2）連接BH．

在△ABH中，由余弦定理可得：BH2=AH2+AB2-2AHABcos∠BAC=+4-2×=，

∴PB2=PH2+BH2=+=10，∴PB=．

在△PAB中，由余弦定理得：cos∠PAB===，∴sin∠PAB=．

∴△PAB的面積S△PAB===．

設C點到平面PAB距離為h，則VC-PAB=S△PABh=3，

即=3．解得h=．

∴C點到平面PAB距離為．