Question

某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)一品牌汽車(chē)的投入成本為10萬(wàn)元/輛，出廠價(jià)為13萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為5000輛.本年度為適應(yīng)市場(chǎng)需求，計(jì)劃提高產(chǎn)品檔次，適當(dāng)增加投入成本，若每輛車(chē)投入成本增加的比例為（0＜＜1，則出廠價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.7，年銷(xiāo)售量也相應(yīng)增加.已知年利潤(rùn)=（每輛車(chē)的出廠價(jià)－每輛車(chē)的投入成本）×年銷(xiāo)售量.
（1）若年銷(xiāo)售量增加的比例為0.4，為使本年度的年利潤(rùn)比上年度有所增加，則投入成本增加的比例應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
（2）年銷(xiāo)售量關(guān)于的函數(shù)為，則當(dāng)為何值時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少？

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬(wàn)元．

試題分析：（1）由題意得：本年度每輛車(chē)的投入成本為10×（1+x）；
出廠價(jià)為13×（1+0.7x）；年銷(xiāo)售量為5000×（1+0.4x），     2分
因此本年度的利潤(rùn)為

即：  6分
由，     得       8分
（2）本年度的利潤(rùn)為

則         10分
由 
當(dāng)是增函數(shù)；當(dāng)是減函數(shù).
∴當(dāng)時(shí)，萬(wàn)元，      12分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824002555801447.png" style="vertical-align:middle;" />在（0，1）上只有一個(gè)極大值，所以它是最大值，       14分
所以當(dāng)時(shí)，本年度的年利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為20000萬(wàn)元．      16分
點(diǎn)評(píng)：研究數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而借鑒數(shù)學(xué)模型，對(duì)提高解決實(shí)際問(wèn)題的能力，以及提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)都是十分重要的．建立模型的步驟可分為： (1) 分析問(wèn)題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示； (2) 根據(jù)所給條件，運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)，確定等量關(guān)系； (3) 寫(xiě)出的解析式并指明定義域。