Question

（本小題滿分12分）已知在直角坐標系xoy中，曲線的參數方程為
（t為非零常數，為參數），在極坐標系（與直角坐標系xoy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以軸正半軸為極軸）中，直線的方程為．
（Ⅰ）求曲線C的普通方程并說明曲線的形狀；
（Ⅱ）是否存在實數，使得直線與曲線C有兩個不同的公共點、，且
（其中o為坐標原點）？若存在，請求出；否則，請說明理由

Answer 1

（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．
①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 
②當時，曲線C為中心在原點的橢圓．
（Ⅱ）不存在滿足題意的實數． 

(I)先把方程化成,然后再根據t²與1的關系進行討論.
（II）先求出直線l的普通方程為,然后再與曲線C的方程聯立消y得關于x的一元二次方程，由于,所以再借助韋達定理及判斷式來解此題.
解：（Ⅰ）∵，∴可將曲線C的方程化為普通方程：．
①當時，曲線C為圓心在原點，半徑為2的圓； 
②當時，曲線C為中心在原點的橢圓．………………5分
（Ⅱ）直線的普通方程為：．聯立直線與曲線的方程，消得，
化簡得．若直線與曲線C有兩個不同的公共點，
，
解得．又 
故．
解得與相矛盾． 故不存在滿足題意的實數． ………………12分