Question

將函數y=f（x）的圖象向左平移1個單位，再縱坐標不變，橫坐標伸長到原來的

π

3

倍，然后再向上平移1個單位，得到函數y=

3

sinx的圖象．
（1）求y=f（x）的最小正周期和單調遞增區間；
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，求當x∈[0，1]時，函數y=g（x）的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）通過函數的圖象的平移變換取得紅絲帶解析式，然后求出函數的周期，利用增函數的單調增區間求解單調遞增區間；
（2）通過函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱，說明當x∈[0，1]時，y=g（x）的最值即為x∈[3，4]時，y=f（x）的最值，求解f（x）的最值，即可得到函數y=g（x）的最小值和最大值．

解答：解：（1）函數y=

3

sinx的圖象向下平移1個單位得y=

3

sinx-1，再橫坐標縮短到原來的

3

π

倍得y=

3

sin

π

3

x-1，然后向右移1個單位得y=

3

sin(

π

3

x-

π

3

)-1所以函數y=f（x）的最小正周期為T=

2π

π 3

=6由2kπ-

π

2

≤

π

3

x-

π

3

≤2kπ+

π

2

⇒6k-

1

2

≤x≤6k+

5

2

，k∈Z，
函數y=f（x）的遞增區間是[6k-

1

2

，6k+

5

2

]，k∈Z．
（2）因為函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=2對稱
∴當x∈[0，1]時，y=g（x）的最值即為x∈[3，4]時，y=f（x）的最值．
∵x∈[3，4]時，

π

3

x-

π

3

∈[

2π

3

，π]，
∴sin（

π

3

x-

π

3

）∈[0，

3

2

]
∴f（x）∈[-1，

1

2

]．
∴y=g（x）的最小值是-1，最大值為

1

2

．

點評：本題考查三角函數的解析式的求法，函數的圖象的變換，三角函數的性質的應用，考查計算能力．