Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)（0＜φ＜π，ω＞0）為偶函數(shù)，且函數(shù)y=f（x）圖象的兩相鄰對稱軸間的距離為

π

2

．
（Ⅰ）求f(

π

8

)的值；
（Ⅱ）將函數(shù)y=f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，求g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先用兩角和公式對函數(shù)f（x）的表達式化簡得f（x）=2sin（ωx+φ-

π

6

），利用偶函數(shù)的性質(zhì)即f（x）=f（-x）求得ω，進而求出f（x）的表達式，把x=

π

8

代入即可．
（Ⅱ）根據(jù)三角函數(shù)圖象的變化可得函數(shù)g（x）的解析式，再根據(jù)余弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ)=2[

3

2

sin(ωx+φ)-

1

2

cos(ωx+φ)]=2sin(ωx+φ-

π

6

)．
∵f（x）為偶函數(shù)，
∴對x∈R，f（-x）=f（x）恒成立，
∴sin(-ωx+φ-

π

6

)=sin(ωx+φ-

π

6

)．
即-sinωxcos(φ-

π

6

)+cosωxsin(φ-

π

6

)=sinωxcos(φ-

π

6

)+cosωxsin(φ-

π

6

)，
整理得sinωxcos(φ-

π

6

)=0．
∵ω＞0，且x∈R，所以cos(φ-

π

6

)=0．
又∵0＜φ＜π，故φ-

π

6

=

π

2

．
∴f(x)=2sin(ωx+

π

2

)=2cosωx．
由題意得

2π

ω

=2•

π

2

，所以ω=2．
故f（x）=2cos2x．
∴f(

π

8

)=2cos

π

4

=

2

．
（Ⅱ）將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位后，得到f(x-

π

6

)的圖象，再將所得圖象橫坐標(biāo)伸長到原來的4倍，縱坐標(biāo)不變，得到f(

x

4

-

π

6

)的圖象．
∴g(x)=f(

x

4

-

π

6

)=2cos[2(

x

4

-

π

6

)]=2cos(

x

2

-

π

3

)．
當(dāng)2kπ≤

x

2

-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），
即4kπ+

2π

3

≤x≤4kπ+

8π

3

（k∈Z）時，g（x）單調(diào)遞減，
因此g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為[4kπ+

2π

3

，4kπ+

8π

3

]（k∈Z）．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)的恒等變換和三角函數(shù)圖象的應(yīng)用．屬基礎(chǔ)題．