Question

【題目】已知圓C：x2+y2﹣6x﹣8y﹣5t=0，直線l：x+3y+15=0．
（1）若直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為 ，求實(shí)數(shù)t的值；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，由直線l上的動(dòng)點(diǎn)P引圓C的兩條切線，若切點(diǎn)分別為A，B，則在直線AB上是否存在一個(gè)定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：圓C的方程可化為（x﹣3）2+（y﹣4）2=25+5t

故圓心為C（3，4），半徑

則圓心C到直線l的距離為

又弦長(zhǎng)為 ，則 即 ，解得t=15

（2）解：當(dāng)t=1時(shí)，圓C的方程為x2+y2﹣6x﹣8y﹣5=0①

則圓心為C（3，4），半徑 ，圓C與直線l相離假設(shè)在直線AB上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（m，n）

由已知得PA⊥AC，PB⊥BC

則A，B在以CP為直徑的圓（x﹣3）（x﹣m）+（y﹣4）（y﹣n）=0

即x2+y2﹣（3+m）x﹣（4+n）y+3m+4n=0上②

①﹣②得，直線AB的方程為（m﹣3）x+（n﹣4）y﹣3m﹣4n﹣5=0③

又點(diǎn)P（m，n）在直線l上，則m+3n+15=0，即m=﹣3n﹣15，代入③式

得（﹣3n﹣18）x+（n﹣4）y+9n+45﹣4n﹣5=0

即直線AB的方程為18x+4y﹣40+n（3x﹣y﹣5）=0

因?yàn)樯鲜綄?duì)任意n都成立，故 ，得

故在直線AB上存在一個(gè)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1）

【解析】（1）根據(jù)直線和圓相交，利用弦長(zhǎng)公式進(jìn)行求解即可．（2）利用直線和圓相切的條件，建立方程關(guān)系進(jìn)行求解判斷．