Question

【題目】定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對(duì)任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù) ．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值；
（2）當(dāng)m=1時(shí)，求函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（﹣∞，0）上是否為有界函數(shù)，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（x）是奇函數(shù)，則f（﹣x）=﹣f（x）

得 ，即（1﹣m2）2x=0，∴m2﹣1=0，m=±1

（2）解：當(dāng)m=1時(shí)， ．

∵x＜0，∴0＜2x＜1，∴f（x）∈（0，1），滿足|f（x）|≤1．

∴f（x）在（﹣∞，0）上為有界函數(shù)

（3）解：若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，則有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．

∴﹣3≤f（x）≤3，

即 ，

∴ ，化簡(jiǎn)得： ，

即 ，

上面不等式組對(duì)一切x∈[0，1]都成立，

故 ，

∴

【解析】（1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)以及有界函數(shù)的定義進(jìn)行求解判斷即可．（3）根據(jù)函數(shù)的有界性建立不等式關(guān)系，利用不等式恒成立進(jìn)行求解即可．