Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD∥BC，CD=13，AB=12，BC=10，AD=5，PD=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是PB，DC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）求EF與平面PDB所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）證明：取CB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，因?yàn)锳D∥BG且AD=BD，

所以四邊形ABGD為平行四邊形，

所以DG=AB=12，

又因?yàn)锳B⊥AD，

所以DG⊥AD，

又PD⊥平面ABCD，

故以點(diǎn)D原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

因?yàn)锽C=10，AD=5，PD=8，

所以有D（0，0，0），P（0，0，8），B（12，5，0），C（12，﹣5，0），

因?yàn)镋，F(xiàn)分別是PB，DC的中點(diǎn)，

所以E（6，﹣2.5，0），F(xiàn)（6，2.5，4），

因?yàn)镻D⊥平面ABCD，DG平面ABCD，

所以PD⊥DG，

又因?yàn)镈G⊥AD，AD∩PD=D，AD，PD平面PAD，

所以DG⊥平面PAD，

所以 =（12，0，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，

又 =（0，5，4）， =0，

所以 ，

又EF平面PAD，所以EF∥平面PAD

（2）解：設(shè)平面PAD的法向量為 =（x，y，z），

所以 ，即 ，即 ，

令x=5，則 =（5，﹣12，0）

所以EF與平面PDB所成角θ滿足：

sinθ= = = ，

所以EF與平面PDB所成角的正弦值為

【解析】取CB的中點(diǎn)G，連結(jié)DG，建立空間直角坐標(biāo)系：（1） =（12，0，0）為平面PAD的一個(gè)法向量，根據(jù) ，進(jìn)而可證EF∥面PAD（2）平面PAD的法向量 =（5，﹣12，0），代和線面夾角公式，可得答案．