Question

【題目】在長方體ABCD-A1B1C1D1中（如圖），AD=AA1=1，AB=2，點E是棱AB的中點．

（1）求異面直線AD1與EC所成角的大小；

（2）《九章算術(shù)》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑，試問四面體D1CDE是否為鱉臑？并說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析

【解析】

（1）取CD中點F，連接AF，則AF∥EC，即∠D1AF為異面直線AD1與EC所成角，解三角形可得△AD1F為等邊三角形，從而得到異面直線AD1與EC所成角的大小；

（2）證明DE⊥CE，進一步得到D1E⊥CE，可知四面體D1CDE是鱉臑．

解：（1）取CD中點F，連接AF，則AF∥EC，

∴∠D1AF為異面直線AD1與EC所成角．

在長方體ABCD-A1B1C1D1中，由AD=AA1=1，AB=2，

得

∴△AD1F為等邊三角形，則．

∴異面直線AD1與EC所成角的大小為；

（2）連接DE，∵E為AB的中點，∴DE=EC=，

又CD=2，∴DE2+CE2=DC2，得DE⊥CE．

∵D1D⊥底面DEC，則D1D⊥CE，∴CE⊥平面D1DE，得D1E⊥CE．

∴四面體D1CDE的四個面都是直角三角形，

故四面體D1CDE是鱉臑．