Question

直線l：y=ax+1與雙曲線3x²-y²=1有兩個不同的交點，
（1）求a的取值范圍；
（2）設交點為A，B，是否存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，若存在就求出直線l的方程，若不存在則說明理由．

Answer 1

（1）聯立方程組

3x2-y2=1 y=ax+1

，消去y，得：
（3-a）²x²-2ax-2=0，…（2分）
由題意方程有兩個實數根，
則

3-a2≠0 △=(-2a)2-4(3-a2)×(-2)＞0

，…（3分）
解得-

6

＜a＜

6

，且a≠±

3

，
∴a的取值范圍是（-

6

，-

3

）∪（-

3

，

3

）∪（

3

，

6

）．…（5分）
（2）設交點坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）知，x1+x2=

2a

3-a2

，x1x2=

-2

3-a2

，…（6分）
由題意可得，OA⊥OB（O是坐標原點），
則有x₁x₂+y₁y₂=0，…（7分）
而y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a2x1x2+a(x1+x2)+1…（8分）
∴（a²+1）x₁x₂+a（x₁+x₂）+1=0
于是得(a2+1)

-2

3-a2

+a•

2a

3-a2

+1=0
解得a=±1，且滿足（1）的條件，…（10分）
所以存在直線l使以AB為直徑的圓恰過原點，
直線l的方程為y=x+1或y=-x+1．…（12分）