Question

設S是實數集R的非空子集，如果?a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，則稱S是一個“和諧集”．下面命題為假命題的是（ ）
A．存在有限集S，S是一個“和諧集”
B．對任意無理數a，集合{x|x=ka，k∈Z}都是“和諧集”
C．若S₁≠S₂，且S₁，S₂均是“和諧集”，則S₁∩S₂≠∅
D．對任意兩個“和諧集”S₁，S₂，若S₁≠R，S₂≠R，則S₁∪S₂=R

Answer 1

【答案】分析：根據已知中關于和諧集的定義：S是實數集R的非空子集，如果?a，b∈S，有a+b∈S，a-b∈S，則稱S是一個“和諧集”．我們利用題目四個結論中所給的運算法則，對所給的集合進行判斷，特別是對特殊元素進行判斷，即可得到答案．
解答：解：A是真命題 S={0}是和諧集；
B是真命題：
設 x₁=k₁a，x₂=k₂a，k₁，k₂∈Z
x₁+x₂=（k₁+k₂）a∈S
x₁-x₂=（k₁-k₂）a∈S
∴S={x|x=ka，a是無理數，k∈Z）是和諧集
C是真命題：任意和諧集中一定含有0，
∴S₁∩S₂≠∅；
D假命題
取S₁={x|x=2k，k∈Z}，S₂={x|x=3k，k∈Z∈}
S₁，S₂均是和諧集，但5不屬于S₁，也不屬于S₂
∴S₁∪S₂不是實數集．
故選D．
點評：此題考查學生理解新定義的能力，會判斷元素與集合的關系，是一道比較新的題型．