Question

如圖，在正三棱錐P—ABC中，M、N分別是側棱PB、PC的中點，若截面AMN⊥側面PBC，則此三棱錐的側棱與底面所成角的正切值是               （    ）
A．          B． C． D．

Answer 1

B

考點：
專題：計算題．
分析：如圖，設D為BC中點，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．設底面邊長為2，側棱長為a，通過解三角形的方法，解得a=，設O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側棱PB與底面所成角，在△POB中求出 tan∠PBO．
解答：解：如圖，設D為BC中點，則 PD⊥BC，PD⊥MN，垂足為E，E為MN中點．又面AMN⊥面PBC，則 PE⊥面AMN，PE⊥AE．
設底面邊長為2，側棱長為a，在△PBC中，PD²=a²-1，PE²=PD²=，ME=MN=．
在△PAB中，由余弦定理，cos∠APB=，代入數據化簡得，AM²=+2，
在△PAE中，由勾股定理，得出 PA²=AE²+PE²=AM²-ME²+PE²，即a²=+2-+，解得a²=3，a=，設O為底面△ABC中心，連接OB，則∠PBO為三棱錐的側棱PB與底面所成角，在△POB中，BO=，由勾股定理，PO²=PB²-BO²=，PO=，所以tan∠PBO=，
三棱錐的側棱與底面所成角的正切值是．
故選B．
點評：本題考查線面角的計算，線面垂直，面面垂直的定義，性質、判定，考查了空間想象能力、計算能力，分析解決問題能力．空間問題平面化是解決空間幾何體問題最主要的思想方法．