Question

【題目】已知函數．

（Ⅰ）若函數在內有極值，求實數的取值范圍；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，對任意，，求證：．

Answer 1

【答案】（I）；（II）證明見解析.

【解析】試題分析：

（I）求得導數，題意說明在上有實根且在根的兩側異號，由知有兩個不等實根，且一根在上，于是另一根在上，由根的分布知識可得．

（II）由（I）的討論知的最大值為，的最小值是，因此只要證即可，化簡，為此只要求出函數在上的最小值，利用導數的知識可求解．

試題解析：

（Ⅰ）由定義域為

設，要使在上有極值，

則有兩個不同的實根，

∴∴或,①

而且一根在區間上，不妨設，

又因為，∴，

又，

∴.只需，即，∴,②

聯立①②可得：.

（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）知，當，，∴單調遞減，

時，，單調遞增,

∴在上有最小值,

即，都有,

又當，∴單調遞增，當，，

∴單調遞減，

∴在上有最大值即對，都有

又∵，，，，

∴

,

設 ，

∴，

∴在上單調遞增，∴,

∴.