Question

已知拋物線 y²=4

5

x 的焦點和雙曲線E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一個焦點重合，且雙曲線的離心率為 e=

5

2

，則雙曲線的方程為（　　）

• A．

  x2

  4

  -y2 =1
• B．

  x2

  9

  -

  y2

  16

  =1
• C．x2-

  y2

  4

  =1
• D．

  x2

  16

  -

  y2

  9

  =1

Answer 1

分析：根據拋物線方程 y²=4

5

x，可得拋物線焦點坐標為（

5

，0）．再根據雙曲線的離心率為e=

5

2

，結合c²=a²+b²，得到c=

5

2

a，b=

1

2

a，從而雙曲線右焦點為（c，0）即（

5

2

a，0）．最后根據拋物線的焦點和雙曲線一個焦點重合列式，解之得a=2，b=

1

2

a=1，得到該雙曲線的方程．

解答：解：∵拋物線方程為 y²=4

5

x，
∴拋物線的2p=4

5

，可得拋物線焦點坐標為（

5

，0）
∵雙曲線E的方程是：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），離心率為 e=

5

2

，
∴c²=a²+b²，且c=

5

2

a，可得b=

1

2

a
可得雙曲線右焦點為（c，0）即（

5

2

a，0）
又∵拋物線的焦點和雙曲線一個焦點重合，
∴

5

2

a=

5

，解之得a=2，b=

1

2

a=1
因此，該雙曲線的方程為

x2

4

-y2 =1
故選A

點評：本題給出一個雙曲線的焦點恰好與拋物線的焦點重合，求雙曲線的標準方程，著重考查了雙曲線的基本概念和拋物線的簡單幾何性質，屬于基礎題．