Question

【題目】自平面上一點O引兩條射線OA，OB，P在OA上運動，Q在OB上運動且保持| |為定值2 （P，Q不與O重合）．已知∠AOB=120°，
（I）PQ的中點M的軌跡是的一部分（不需寫具體方程）；
（II）N是線段PQ上任﹣點，若|OM|=1，則 的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】橢圓；[1﹣ ，1+ ]
【解析】解：（I）以OB為x軸，過O垂直于OB的直線為y軸，|OQ|=a，|OP|=b，則P（﹣ ， b），Q（a，0），
∴M（ ， b），
設M（x，y），則x= ，y= b，
∴a=2x+ y，b= y
由余弦定理可得a2+b2+ab=8，
∴3x2+4 xy+7y2=6，
∴PQ的中點M的軌跡是橢圓的一部分；
（II）∵| |為定值2 ，|OM|=1，
∴a2+b2=6，
∵a2+b2+ab=8，
∴ab=2，
∴a= ，b= ，
∴P（﹣ ， ），Q（ ，0），M（ ， ），
∴ =1﹣ ， =1+ ， =1
∴ 的取值范圍是[1﹣ ，1+ ]．
所以答案是：橢圓；[1﹣ ，1+ ]．