Question

某數學老師對本校2013屆高三學生的高考數學成績按1：200進行分層抽樣抽取了20名學生的成績，并用莖葉圖記錄分數如圖所示，但部分數據不小心丟失，同時得到如下所示的頻率分布表：

分數段（分）	[50，70）	[70，90）	[90，110）	[110，130）	[130，150）	總計
頻數				b
頻率	a	0.25

（1）求表中a，b的值及分數在[90，100）范圍內的學生人數，并估計這次考試全校學生數學成績的及格率（分數在[90，150）內為及格）
（2）從成績在[100，130）范圍內的學生中隨機選4人，設其中成績在[100，110）內的人數為X，求X的分布列及數學期望．

Answer 1

分析：（1）結合頻率分布表與莖葉圖給出的數據，先求a、b的值，再根據頻率和為1，求分數在[90，110）范圍內的學生數，從而求出分數分別在[90，100）和[70，90）的人數，計算及格率；
（2）由莖葉圖可知分數在[100，130）范圍內的有7人，分數在[100，110）范圍內有4人，則隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，求出相應的概率，可求X的分布列及數學期望．

解答：（1）由莖葉圖可知分數在[50，70]范圍內的有2人，在[110，130]范圍內有3人，
∴a=

2

20

=0.1，b=3，
分數在[70，90]內的人數20×0.25=5，結合莖葉圖可得分數在[70，80]內的人數為2，
∴分數在[90，100]范圍內的學生人數為4，故數學成績及格的學生為13人，
∴估計這次考試全校學生數學成績的及格率為

13

20

×100%=65%；
（2）由莖葉圖可知分數在[100，130）范圍內的有7人，分數在[100，110）范圍內有4人，則隨機變量X的所有可能取值為1，2，3，4，
相應的概率為：P（X=1）=

C 1 4 C 3 3

C 4 7

=

4

35

，P（X=2）=

C 2 4 C 2 3

C 4 7

=

18

35

，P（X=3）=

C 3 4 C 1 3

C 4 7

=

12

35

，P（X=4）=

C 4 4 C 0 3

C 4 7

=

1

35

隨機變量X的分布列為

X	1	2	3	4
P	4 35	18 35	12 35	1 35

EX=1×

4

35

+2×

18

35

+3×

12

35

+4×

1

35

=2.2．

點評：本題考查了莖葉圖，考查了古典概型的概率計算，考查隨機變量的分布列及數學期望，考查學生的計算能力，正確求概率是關鍵．