Question

【題目】如圖，多面體EF﹣ABCD中，四邊形ABCD是菱形，AB=4，∠BAD=60°，AC，BD相交于O，EF∥AC，點E在平面ABCD上的射影恰好是線段AO的中點．

（Ⅰ）求證：BD⊥平面ACF；

（Ⅱ）若直線AE與平面ABCD所成的角為45°，求平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】分析：（Ⅰ）取AO的中點H，連結EH，證明EH⊥BD，AC⊥BD，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點，如圖所示建立空間直角坐標系H﹣xyz，

由EH⊥平面ABCD，得∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，即∠EAH=45°則

求出平面DEF與平面ABCD的法向量，代入公式即可求解．

詳解：（Ⅰ）取AO的中點H，連結EH，則EH⊥平面ABCD

∵BD在平面ABCD內，∴EH⊥BD

又菱形ABCD中，AC⊥BD 且EH∩AC=H，EH、AC在平面EACF內

∴BD⊥平面EACF，即BD⊥平面ACF

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EH⊥平面ABCD，以H為原點，如圖所示建立空間直角坐標系H﹣xyz

∵EH⊥平面ABCD，∴∠EAH為AE與平面ABCD所成的角，

即∠EAH=45°，又菱形ABCD的邊長為4，則

各點坐標分別為，

E（0，0，）

易知為平面ABCD的一個法向量，記=，=，=

∵EF∥AC，∴=

設平面DEF的一個法向量為（注意：此處可以用替代）

即 =，

令，則，∴

∴

平面DEF與平面ABCD所成角（銳角）的余弦值為．