Question

已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=

1

2

ax2+bx（a≠0）
（Ⅰ）若a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數(shù)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的結論下，設φ（x）=e^2x+be^x，x∈[0，ln2]，求函數(shù)φ（x）的最小值；
（Ⅲ）設函數(shù)f（x）的圖象C₁與函數(shù)g（x）的圖象C₂交于點P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a=-2時，函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）在其定義域內是增函數(shù)，知道h′（x）在其定義域內大于等于零，得到一個關于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；
（II）先設t=e^x，將原函數(shù)化為關于t的二次函數(shù)，最后將原函數(shù)φ（x）的最小值問題轉化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可；
（III）先假設存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標，如出現(xiàn)矛盾，則不存在；若不出現(xiàn)矛盾，則存在．

解答：解：（I）依題意：h（x）=lnx+x²-bx．
∵h（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴h′(x)=

1

x

+2x-b≥0對x∈（0，+∞）恒成立，
∴b≤

1

x

+2x，∵x＞0，則

1

x

+2x≥2

2

．
∴b的取值范圍是(-∞，2

2

]．
（II）設t=e^x，則函數(shù)化為y=t²+bt，t∈[1，2]．
∵y=(t+

b

2

)2-

b2

4

．
∴當-

b

2

≤1，即-2≤b≤2

2

時，函數(shù)y在[1，2]上為增函數(shù)，
當t=1時，y_min=b+1；當1＜-

b

2

＜2，即-4＜b＜-2時，當t=-

b

2

時，ymin=-

b2

4

；
當-

b

2

≥2，即b≤-4時，函數(shù)y在[1，2]上是減函數(shù)，
當t=2時，y_min=4+2b．
綜上所述：φ(x)=

b+1 -2≤b≤2 2 - b2 4 -4＜b＜-2 4+2b b≤-4

（III）設點P、Q的坐標是（x₁，y₁），（x₂，y₂），且0＜x₁＜x₂．
則點M、N的橫坐標為x=

x1+x2

2

．
C₁在點M處的切線斜率為k1=

1

x

|x=

x1+x2

2

=

2

x1+x2

．
C₂在點N處的切線斜率為k2=ax+b|x=

x1+x2

2

=

a(x1+x2)

2

+b．
假設C₁在點M處的切線與C₂在點N處的切線平行，則k₁=k₂．
即

2

x1+x2

=

a(x1+x2)

2

+b．則

2(x2-x1)

x1+x2

=

a( x 2 2 - x 2 1 )

2

+b(x2-x1)=(

a

2

x

2 2

+bx2)-(

a

2

x

2 1

+bx1)
=y2-y1=lnx2-lnx1=ln

x2

x1

，
∴ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x1+x2

=

2( x2 x1 -1)

1+ x2 x1

設u=

x2

x1

＞1，則lnu=

2(u-1)

1+u

，u＞1，（1）
令r(u)=lnu-

2(u-1)

1+u

，u＞1，則r′(u)=

1

u

-

4

(u+1)2

=

(u-1)2

u(u+1)2

，
∵u＞1，∴r′（u）＞0，
所以r（u）在[1，+∞）上單調遞增，
故r（u）＞r（1）=0，則lnu＞

2(u-1)

u+1

，與（1）矛盾！

點評：本題主要考查了利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、兩條直線平行的判定等基礎知識，屬于中檔題．