Question

四面體DABC的體積為

1

6

，∠ACB=

π

4

，AD=1，BC+

AC

2

=2，則CD=______．

Answer 1

已知如下圖所示：

作DA'⊥平面ABC，則AD≥A'D
則V_D-ABC=

1

3

•A′D(

1

2

•AC•BC•sin45°)=

1

6

≤

1

3

•AD(

1

2

•AC•BC•sin45°)
即AD•BC•

AC

2

≥1
由基本不等式得AD+BC+

AC

2

≥3

3	AD•BC• AC 2

≥3
當且僅當AD=BC=

AC

2

=1時取等號，
而AD+BC+

AC

2

=2+1=3
故AD'=AD=1
即AD⊥平面ABC
此時，AC=

2

，
由勾股定理易得CD=

3

故答案為：

3