Question

設{a_n}是公比為q的等比數列，其前n項的積為T_n，并且滿足條件：a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．給出下列結論：①0＜q＜1；②T₁₉₈＜1；③a₉₉a₁₀₁＜1；④使T_n＜1成立的最小的自然數n等于199．其中正確結論的編號是（　　）

• A、①②③
• B、①④
• C、②③④
• D、①③④

Answer 1

分析：由已知中數列{a_n}是公比為q的等比數列，其前n項的積為T_n，并且滿足條件：a₁＞1，a₉₉a₁₀₀-1＞0，

a99-1

a100-1

＜0．我們可得a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，結合等數列的性質對題目中的四個結論逐一進行判斷，即可得到答案．

解答：解：∵a₉₉a₁₀₀-1＞0，
∴a₁²•q¹⁹⁷＞1，
∴（a₁•q⁹⁸）²＞1
∵a₁＞1，
∴q＞0，
又∵

a99-1

a100-1

＜0
∴a₉₉＞1，a₁₀₀＜1．
∴0＜q＜1，即①正確
又∵T₁₉₈=a₁¹⁹⁸•q^1+2+…+197=（a₉₉•a₁₀₀）⁹⁹＞1
∴②不正確
a₉₉a₁₀₁=a₁₀₀²＜1
∴③正確；
滿足Tn=a1•q

n-1

2

＜1的最小自然數n滿足

n-1

2

=99，即n=199，∴④正確．
∴正確的為①③④
故選D

點評：本題考查的知識點是等比數列的性質，其中根據已知條件得到a₉₉＞1，a₁₀₀＜1，是解答本題的關鍵．