Question

【題目】已知a＞3且a≠ ，命題p：指數函數f（x）=（2a﹣6）x在R上單調遞減，命題q：關于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的兩個實根均大于3．若p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：若指數函數f（x）=（2a﹣6）x在R上單調遞減，則0＜2a﹣6＜1，解得3＜a＜ ，即p：3＜a＜ ．
若關于x的方程x2﹣3ax+2a2+1=0的兩個實根均大于3．
設函數f（x）=x2﹣3ax+2a2+1，
則滿足 ，
即 ，解得a ，
又a＞3且a≠ ，∴a＞3且a≠ ．即q：a＞3且a≠ ．
當若p或q為真，p且q為假，
∴p，q一真一假．
若p真q假，則此時a無解．
若p假q真，則 ，即a＞ ．
綜上：a＞
【解析】分別求出命題p，q成立的等價條件，利用p或q為真，p且q為假，求實數a的取值范圍．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用復合命題的真假的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判斷:“非p”形式復合命題的真假與F的真假相反；“p且q”形式復合命題當P與q同為真時為真，其他情況時為假；“p或q”形式復合命題當p與q同為假時為假，其他情況時為真．