Question

橢圓的長軸長為4，焦距為2，F₁、F₂分別為橢圓的左、右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，線段垂直平分線交于點

（1）求橢圓的標準方程和動點的軌跡 的方程。

（2）過橢圓的右焦點作斜率為1的直線交橢圓于A、B兩點，求的面積。

（3）設軌跡與軸交于點，不同的兩點在軌跡上，

滿足求證：直線恒過軸上的定點。

 

Answer 1

【答案】

解：（1）由題設知：2a = 4，即a = 2，2c=2，即c=1，

故橢圓方程為，       ………2分

∵MP=MF₂，

∴動點M到定直線的距離等于它到定點F₁（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是C為l₁準線，F₂為焦點的拋物線 

∴點M的軌跡C₂的方程為    …………5分

（2）  消去 并整理得： 

     設  則   ---------------7分

      =-----------9分

（3）Q（0，0），設     ------------10分

  

          ---------------------------11分

 

 

 ----------------13  分         

 故直線RS恒過定點（4，0）-------------------------------------------------------14分

【解析】略