Question

（文科做）已知點A₁（2，0），A₂（1，t），A₃（0，b），A₄（-1，t），A₅（-2，0），其中t＞0，b為正常數．
（1）半徑為2的圓C₁經過A_i（i=1，2，…，5）這五個點，求b和t的值；
（2）橢圓C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）為焦點，長軸長是4．若A_iF₁+A_iF₂=4（i=1，2，…，5），試用b表示t；
（3）在（2）中的橢圓C₂中，兩線段長的差A₁F₁-A₁F₂，A₂F₁-A₂F₂，…，A₅F₁-A₅F₂構成一個數列{a_n}，求證：對n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．（本小題解答中用到了橢圓的第一定義與焦半徑公式，新教材實驗區的學生可不解第三小題，請學習時注意）

Answer 1

【答案】分析：（1）注意到A₁（2，0），A₅（-2，0），且半徑為2的圓C₁經過A_i，故線段A₁A₅就是所求圓的直徑，O為圓心，寫出圓的標準方程即可
（2）橢圓長軸長是4，即a=2，故可設橢圓方程為，因為A_iF₁+A_iF₂=4，由橢圓定義知點A₂（1，t）在橢圓上，代入橢圓方程即可用b表示t；
（3）利用焦半徑公式，A_iF₁=ex_i+a，再利用橢圓定義，即可得A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i，可見數列{a_n}的項的大小只與點A_i的橫坐標有關，進而易證a_n+1＜a_n．
解答：解：（1）∵A₁A₅=4，則A₁A₅為⊙C₁的直徑，∴圓心為A₁，A₅的中點（0，0）
∴⊙C₁的方程是x²+y²=4，
∵A₂（1，t），A₃（0，b）在圓上，
∴b=2，；
（2）∵橢圓C₂以F₁（-c，0），F₂（c，0）（c＞0）為焦點，長軸長是4，
∴橢圓C₂的方程是，將A₂（1，t）代入，
得，得；
（3）設A_i的坐標是（x_i，y_i），∵橢圓C₂的左準線為，
∴，則，（其中為橢圓的離心率）
A_iF₁-A_iF₂=2A_iF₁-2a=2ex_i
由于{x_i}遞減，則對n=1，2，3，4都有a_n+1＜a_n．
點評：本題考察了圓的標準方程，橢圓的標準方程，橢圓的定義，橢圓的幾何性質等基礎知識及其應用，本題解答中用到了橢圓的第二定義轉化，新教材實驗區的學生可不解第三小題，請學習時注意