Question

一個多面體的直觀圖、正(主)視圖、側(左)視圖如圖1和圖2所示，其中正(主)視圖、側(左)視圖均為邊長為的正方形.
(Ⅰ)請在圖2指定的位置畫出多面體的俯視圖；
(Ⅱ)若多面體底面對角線AC、BD交于點O，E為線段AA₁的中點，求證：OE∥平面A₁C₁C；
(Ⅲ)求該多面體的表面積．

Answer 1

解：（Ⅰ） 略
（Ⅱ）證明：如圖，連結AC、BD，交于O點．
∵E為AA₁的中點，O為AC的中點．
∴在△AA₁C中，OE為△AA₁C的中位線，
∴OE∥A₁C.
∵OE?平面A₁C₁C，A₁C?平面A₁C₁C，
∴OE∥平面A₁C₁C.
(Ⅲ)多面體表面共包括10個面，S_ABCD＝a²，
S＝，S＝S＝S＝S＝，
S＝S＝S＝S＝，
所以該多面體的表面積S＝a²＋＋4×＋4×＝5a².

略