Question

如果關于x的方程

|x|

x+4

=kx2有4個不同的實數解，則實數k的取值范圍是（　　）

• A．(0，

  1

  4

  )
• B．(

  1

  4

  ，1)
• C．（1，+∞）
• D．(

  1

  4

  ，+∞)

Answer 1

分析：由于方程帶有絕對值，故需要分x=0，x＜0，x＞0三類去掉絕對值，在每一類中再依據參數k值的不同，找出滿足方程解的個數，最后綜合三類情況即可得到方程

|x|

x+4

=kx2有4個不同的實數解的參數的范圍．

解答：解：方程

|x|

x+4

=kx2①
（1）由方程的形式可以看出，x=0恒為方程①的一個解
（2）當x＜0且x≠-2時方程①有解，則

-x

x+4

=kx2即kx²+4kx+1=0
當k=0時，方程kx²+4kx+1=0無解；
當k≠0時，△=16k²-4k≥0即k＜0或k≥

1

4

時，方程kx²+4kx+1=0有解．
設方程kx²+4kx+1=0的兩個根分別是x₁，x₂則x₁+x₂=-4，x₁x₂=

1

k

．
當k＞

1

4

時，方程kx²+4kx+1=0有兩個不等的負根；
當k=

1

4

時，方程kx²+4kx+1=0有兩個相等的負根；
當k＜0時，方程kx²+4kx+1=0有一個負根．
（3）當x＞0時，方程①有解，則

x

x+4

=kx2，kx²+4kx-1=0
當k=0時，方程kx²+4kx-1=0無解；
當k≠0時，△=16k²+4k≥0即k＞0或k≤-

1

4

時，方程kx²+4kx-1=0有解．
設方程kx²+4kx-1=0的兩個根分別是x₃，x₄
∴x₃+x₄=-4，x₃x₄=-

1

k

．
∴當k＞0時，方程kx²+4kx-1=0有一個正根，
當k≤-

1

4

時，方程kx²+4kx+1=0沒有正根
綜上可得，當k∈（

1

4

，+∞）時，方程

|x|

x+4

=kx2有4個不同的實數解．

點評：本題考查由方程有四個解來求參數的范圍，對思維的嚴密性要求很高，需要熟練運用分類討論的思想，因為題目中有太多的不確定性，本題難度較大．