Question

已知函數(shù)，其中，記函數(shù)的定義域為D．
（1）求函數(shù)的定義域D；
（2）若函數(shù)的最小值為，求的值；
（3）若對于D內(nèi)的任意實數(shù),不等式＜恒成立,求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

(1)
(2) 
(3) (－∞，)∪[，+∞)

試題分析：解：（1）要使函數(shù)有意義：則有，解得
∴ 函數(shù)的定義域D為               2分
（2）
    
，，即，  5分
由，得，．       7分
（注：不化簡為扣1分）
（3）由題知－x²+2mx－m²+2m＜1在x∈上恒成立，
－2mx+m²－2m+1＞0在x∈上恒成立，    8分
令g(x)=x²－2mx+m²－2m+1，x∈，
配方得g(x)=(x－m)²－2m+1，其對稱軸為x=m，
當(dāng)m≤－3時， g(x)在為增函數(shù)，
∴g(－3)= (－3－m)²－2m+1= m²+4m +10≥0，
而m²+4m +10≥0對任意實數(shù)m恒成立，∴m≤－3．       10分
②當(dāng)－3＜m＜1時，函數(shù)g(x)在（－3,－1）為減函數(shù)，在（－1, 1）為增函數(shù)，
∴g(m)=－2m+1＞0，解得m＜     ∴－3＜m＜        12分
③當(dāng)m≥1時，函數(shù)g(x)在為減函數(shù)，∴g(1)= (1－m)²－2m+1= m²－4m +2≥0，
解得m≥或m≤，    ∴－3＜m＜         14分
綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是 (－∞，)∪[，+∞)    16分
點評：解決的關(guān)鍵是利用函數(shù)的概念以及分離參數(shù)的思想來借助于二次函數(shù)的最值得到參數(shù)的范圍。屬于基礎(chǔ)題。