Question

如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，E為棱CC₁的中點(diǎn)。

（1）求證：BD⊥AE；
（2）求點(diǎn)A到平面BDE的距離．

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析，（2）

解析試題分析：（1）證明線線垂直，有兩個(gè)思路，一是在平面幾何中利用勾股定理，二是利用線面垂直轉(zhuǎn)化.而異面直線垂直只能利用線面垂直轉(zhuǎn)化.因?yàn)锳C⊥BD，所以證明思路為證明BD⊥面ACE，而關(guān)鍵CC1⊥BD就可得到證明.（2）求點(diǎn)A到平面BDE的距離也有兩個(gè)思路，一是作出A到平面BDE的距離，即垂線段，二是利用體積求高.本題作出A到平面BDE較為復(fù)雜，所以優(yōu)先考慮利用體積求高.因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/9a/3/bovjl2.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
試題解析：（1）連結(jié)AC
ABCD－A1B1C1D1是正方體，AC⊥BD，CC1⊥ABCD
又BD面ABCD，CC1⊥BD
又ACC1C＝C，BD⊥面ACE
又AE面ACE，BD⊥AE
（2）設(shè)A到面BDE的距離為h
正方體的棱長(zhǎng)為2，E為C1C中點(diǎn)，


考點(diǎn)：線線垂直判定，等體積求點(diǎn)到平面距離