Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面PAD⊥底面ABCD，PD⊥AD，PD=AD，E為棱PC的中點

（I）證明：平面PBC⊥平面PCD；

（II）求直線DE與平面PAC所成角的正弦值；

（III）若F為AD的中點，在棱PB上是否存在點M，使得FM⊥BD？若存在，求的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（II）（III）存在，=

【解析】

（I）由面面垂直的性質定理得PD⊥底面ABCD，從而可得BC⊥平面PCD，然后可證得面面垂直；

（II）以為軸建立空間直角坐標系，寫出各點坐標，求出平面的法向量和直線的方向向量，平面的法向量和直線的方向向量的余弦的絕對值等于直線與平面所成角的正弦；

（III）設=λ（0≤λ≤1），由求得即可．

（I）∵平面PAD⊥底面ABCD，又PD⊥AD，

∴PD⊥底面ABCD

∴PD⊥BC

又∵底面ABCD為正方形，BC⊥CD

∴BC⊥平面PCD

∴平面PBC⊥平面PCD，

（II）由（I）知，PD⊥底面ABCD，AD⊥CD

如圖以點D為原點建立空間直角坐標系

不妨設PD=AD=2，可得D（0，0，0），A（2，0，0，），C（0，2，0），P（0，0，2），

由E為棱PC的中點，得E（0，1，1），

向量=（-2，2，0），=（2，0，-2），設=(x,y,z)為平面PAC的法向量，則

，即

不妨令x=1,可得=（1，1，1）為平面PAC的一個法向量

設直線DE與平面PAC所成角為θ

所以sinθ==

所以，直線DE與平面PAC所成角的正弦值為

（III）向量=（-2，-2，2），=（2，2，0），=（1，2，0）

由點M在棱PB上，設=λ（0≤λ≤1）

故=+=（1-2λ，2-2λ，2λ）

由FM⊥DB，得·=0

因此（1-2λ）×2+（2-2λ）×2=0

解得λ=，所以=