Question

設數列{a_n}滿足：ba_n－2ⁿ＝(b－1)S_n．

(Ⅰ)當b＝2時，求證：{a_n－n·2^n－1}是等比數列；

(Ⅱ)求a_n通項公式．

Answer 1

答案：
解析：

解析：由題意，在中，令，得，． 　　由 　　得 　　兩式相減得： 　　即…………① 　　(Ⅰ)當時，由①知， 　　于是 　　 　　又，所以是首項為1，公比為2的等比數列． 　　(Ⅰ)變：當時，求的通項公式．解法如下： 　　解：當時，由①知， 　　兩邊同時除以得 　　 　　∴是等差數列，公差為，首項為 　　∴ 　　∴(∴，∴是等比數列，首項為1，公比為2) 　　(Ⅱ)當時，由(Ⅰ)知，，即 　　當時，由①： 　　兩邊同時除以得 　　可設…………② 　　展開②得，與比較， 　　得，∴． 　　∴ 　　∴是等比數列，公比為，首項為 　　∴ 　　∴ 　　∴

提示：

這是第一道考查＂會不會＂的問題．如若不會，對不起，請先繞道走．對大多數考生而言，此題是一道攔路虎．可能比壓軸題還讓人頭痛．原因是兩個小題分別考到了兩種重要的遞推方法．遞推數列中對遞推方法的考查，有30年歷史了，現在只是陳題翻新而已．不過此題對考生有不公平之嫌．大中城市參加過競賽培訓的優生占便宜了．解題有套方為高啊．